A second order in space combination of methods verifying a maximum principle for the discretization of diffusion operators

We describe a second order in space combination of methods suppressing oscillations appearing for diffusion operator discretization with cell-centered finite volume schemes. Résumé. Nous décrivons une combinaison d’ordre 2 de méthodes supprimant les oscillations apparaissant pour la discrétisation d’opérateur de diffusion avec des schémas volumes finis centrés sur les mailles. Manuscript received 24th September 2019, revised 24th October 2019, accepted 16th December 2019. Version française abrégée Il est bien connu que les schémas classiques discrétisant des opérateurs de diffusion ne satisfont pas toujours le principe du maximum pour des mailles très déformées ou des rapports d’anisotropie très élevés [11, 14, 16]. Nous proposons une nouvelle correction non linéaire qui donne des solutions non oscillantes pour des schémas volumes finis centrés sur les mailles. Elle se généralise aux schémas hybrides [13] ou aux schémas DDFV [4, 10] en suivant la méthode décrite dans [18]. En comparaison aux méthodes proposées dans [15, 17], elle est très simple à mettre en œuvre et s’avère également d’ordre 2. Comme les algorithmes décrits dans [5], le schéma est convergent avec des hypothèses spécifiques mais il peut être appliqué à des mailles de forme générale. C’est un point de vue différent des méthodes décrites dans [9, 17] (en dimension 1 ou en différences finies), où des preuves complètes de convergence sont proposées sans hypothèse sur la solution calculée. ISSN (electronic) : 1778-3569 https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/ 90 Christophe Le Potier Nous considérons le problème (1) et un schéma centré sur les mailles défini dans (3) avec des hypothèses de consistence et coercivité décrites dans les paragraphes 2.2.2 and 2.2.3 de la publication [5]. Ici, M et E désignent les mailles et les faces du maillage. Nous notons |K | le volume d’une maille et FK ,σ une approximation consistante de ∫ σD∇u.nK ,σdσ. Pour η ≥ 0, nous proposons la correction non linéaire décrite dans (5). Il s’agit de la combinaison de deux méthodes proposées dans [5] et [6, 7]. Dans la proposition 1, nous montrons que le schéma modifié reste coercif. Dans la proposition 2, nous expliquons pourquoi il existe au moins une solution au système (5). Dans la proposition 3, nous établissons que le nouveau schéma vérifie le principe du maximum. Dans la proposition 7, nous prouvons qu’avec une hypothèse spécifique sur la solution calculée, la méthode converge vers l’unique solution de (1). Nous donnons finalement quelques résultats numériques en cherchant la solution du problème (12). Le paramètre 2 est égal à 10−3 ce qui donne un rapport d’anisotropie égal à 103. Nous vérifions que f ≥ 0. Nous utilisons les maillages de triangles issus du test 1 dans le benchmark [14]. Nous calculons la solution du problème à l’aide d’un algorithme de point fixe. Notons ui la valeur de la solution à l’itéré i et A(ui ) la matrice discrétisant l’opérateur de diffusion. Le schéma itératif s’écrit B(ui )(ui+1−ui ) = A(ui )ui − f . Nous choisissons pour B la matrice obtenue pour N = 1 (voir remarque 4). Nous montrons tout d’abord les résultats obtenus dans le tableau 1 avec le schéma développé dans [19] (Schéma 1) (Erreurs L2 de u par rapport à la solution analytique, ordre, pourcentage de valeurs négatives, valeur minimum). Dans tous les calculs, nous choisissons η= 0. Nous présentons également les résultats obtenus avec le schéma décrit dans le paragraphe 3 (Schéma 2), le schéma 3 (avec N = 2 dans la remarque 4) et la méthode développée dans [5] (Schéma 4). Nous vérifions que les schémas 2, 3 et 4 n’oscillent plus. Nous observons que les schémas 2 et 3 tendent vers l’ordre 2 alors que le schéma 4 reste d’ordre 1 comme déjà montré dans [5]. Pour les méthodes 2 et 4, le nombre d’itérations nit dans l’algorithme du point fixe reste inférieur à 20. Le schéma 3 semble encore plus rapide.